I.E.S. Izpisúa Belmonte

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Probabilidad


Breve resumen sobre Probabilidad



 

"En el fondo, la teoría de 

probabilidades es sólo sentido común

expresado con números".

Pierre Simón de Laplace

 

 

Experimentos o fenómenos deterministas. Aquellos cuyo resultado es previsible (Leyes físicas). Experimentos o fenómenos aleatorios. Aquellos cuyo resultado no es previsible (Probabilidad).

Espacio muestral (E). El conjunto formado por todos los resultados de un experimento aleatorio.

 

·      Suceso. Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral.

·      Suceso elemental. Formados por un sólo resultado.

·      Suceso compuesto. Los formados por dos o más sucesos elementales.

·      Suceso seguro. El que se verifica siempre que se realiza el experimento.

·      Suceso imposible. El que nunca se verifica. Se representa por Æ.

·      Suceso unión de A y B. El que se realiza cuando lo hace A o B. Lo representamos por AÈB.

·      Suceso intersección de A y B. El que se realiza cuando lo hacen A y B. Lo representaremos por AÇB. Si AÇB=Æ los sucesos se dicen incompatibles.

·      Suceso contrario del suceso A. El que se da cuando no se verifica A. Lo representamos por .

Leyes de Morgan.

·     

·     

Por ejemplo, lanzar un dado.

• Espacio muestral E={1,2,3,4,5,6}

• Sucesos elementales: {1}, {2},{3},{4},{5} y{6}

• Otros sucesos: A={1,2}, B={2,4,6}, C={1,3,5}

•  Suceso seguro: E={1.2.3.4.5.6}

•  Suceso imposible: Ø={ }

•  Suceso contrario de A:  = {3,4,5,6}

Operaciones con sucesos

Unión:    A U B = {1,2,4,6}

Intersección:  A B = {2}

Diferencia:         A–B={1}

 

 

Probabilidad. Es toda aplicación entre el conjunto de sucesos de un experimento y el conjunto de los números reales, , que cumple los siguientes axiomas:

·      La probabilidad del suceso seguro es 1. P(E)=1.

·      La probabilidad de cualquier suceso es un número no negativo. P(A)³0.

·      Si A y B son dos sucesos incompatibles (AÇB=Æ) entonces P(AÈB)=P(A)+P(B).

Propiedades:

 

·      .

·      .

·      .

·      .

 

 

Regla de Laplace. En un espacio en el que todos los sucesos elementales son equiprobables, para cualquier suceso A se tiene que:

 

 

Experimentos con probabilidades imprevisibles. Cuando el instrumento aleatorio es irregular, sólo se pude valorar la probabilidad de los distintos sucesos experimentando reiteradamente. Se llama frecuencia de un suceso A al número de veces que ocurre ese suceso, se designa por f(A). Se llama frecuencia relativa de un suceso, a la proporción de veces que ocurre ese suceso, se designa por fr(A).

 

 

Ley de los grandes números. Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa de un suceso asociado se va acercando más y más a un cierto valor. Este valor se llama (coincide) probabilidad del suceso.

Experimentos compuestos. Formados por varios experimentos simples efectuados consecutivamente.

 

Espacio compuesto. El conjunto de todos los resultados elementales que tienen lugar en un experimento compuesto. La probabilidad de un suceso elemental en un espacio compuesto se puede calcular multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia compuesta.

 

Diagramas de árbol. Son una herramienta inmejorable en la descripción de los experimentos compuestos. 

 

 

Sucesos independientes. Dos sucesos A y B lo son si P(AÇB)=P(A)×P(B), es decir si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, (como las extracciones con devolución) en otro caso se dicen dependientes. (Como las extracciones sin devolución)

 

Probabilidad condicionada del suceso A respecto del (condicionado al) suceso B, y lo representamos por P(A/B) a:   

 

.

 

Sucesos independientes: P(AÇB)=P(A)×P(B) y en este caso P(A)=P(A/B) y P(B)=P(B/A).

 

Sucesos dependientes: P(AÇB)=P(A)×P(B/A) en este caso P(B)¹P(B/A) o P(A)¹P(A/B).

 

Tablas de contingencia. Junto con los diagramas de árbol son un instrumento muy útil para organizar los datos en problemas de probabilidad condicionada.

 

Sistema completo de sucesos. Es una familia de sucesos A1, A2, ..., An que cumple:

 

Si i¹j entonces AiÇAj=Æ y la unión de todos ellos es el suceso seguro, ÈAi=E.

 

Probabilidad total. Si A1, A2, ..., An  es un sistema completo de sucesos entonces para cualquier suceso B es válida la siguiente expresión:

 

P(B)=P(A1)×P(B/A1)+ P(A2)×P(B/A2)+...+ P(An)×P(B/An)

 

Teorema de Bayes. Si A1, A2, ..., An  es un sistema completo de sucesos con probabilidades no nulas entonces para cualquier suceso B es válida la siguiente expresión:

 

 

 


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