8. UNA CURVA SORPRENDENTE. Un bello problema de Física. Perspectiva histórica.
Supongamos
que se une por medio de un alambre deformable un punto A a otro B a menor altura
¿qué trayectoria (recta o sinuosa), qué forma debe adoptar el alambre para
que el descenso de una partícula sobre este sea lo más rápido posible?
Galileo
creía que una cuentecilla caería en menor tiempo si el alambre se curvaba. Más
tarde en 1696, Johann Bernoulli intentó averiguar (y lo consiguió de manera
genial) qué clase de curvatura proporciona el descenso más vertiginoso. Esta
curva se conoce como braquistocrona (del griego brachistos, el más breve, y
cronos, tiempo).
Es posible resolver este hermoso problema desde distintas perspectivas. Históricamente la cuestión entronca con un problema de óptica aparentemente sin relación, la refracción de la luz cuando un rayo cambia de medio en su propagación. Al traspasar la luz a un medio más denso, en el cual la onda se ralentiza, el rayo se desvía. El tiempo requerido para recorrer el camino que parte del punto A y arriba en otro B será:
Si
el rayo elige una trayectoria para demorarse lo mínimo entonces dt/dx= 0
|
o bien: |
|
(ley de la refracción de Snell) |
La
suposición de que la luz va de un punto a otro siguiendo la trayectoria más rápida
se conoce como principio de Fermat (el de la
nota al margen) y proporciona una base sólida para la ley de
Snell.
http://www.phy.ntnu.edu.tw/%7Ehwang/refraction/refraction
Si en vez de dos medios, la luz atraviesa un camino estratificado en donde en cada capa la velocidad de la luz es v, y disponemos que estas capas sean cada vez más delgadas hasta llegar al límite entonces:
Esta
situación ocurre aproximadamente cuando un rayo de luz va penetrando en la atmósfera
de densidad creciente.
Al igual que el rayo, la bolita que desciende por el alambre elige el camino más rápido sabiendo que la velocidad que alcanza a una altura no depende del camino seguido (las reglas del juego), solo influye su perdida de energía potencial no la ruta que lo condujo y vale:
 |
 |
suponiendo
que la altura inicial vale 2R y ya veremos por qué.
Por trigonometría elemental:
Que es la ecuación diferencial de una cicloide con el origen en pR,-2R e invertida y cuyas ecuaciones paramétricas se comprueba que son:
La cicloide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sobre una recta sin deslizar como se ve en la figura :
Para
averiguar cuál es el tiempo (mínimo) que tarda la bolita en alcanzar el final
ubicado en el origen partiendo desde una altura 2R a una distancia x=pR
se procede integrando el tiempo:
Supongamos que la partícula es una pequeña esfera que rueda sin deslizar, entonces la velocidad será:
Mg2R= ½ mv2+½Iw2+ mgy
Mg2R = ½ mv2+½2/5 mr2v2/r2+ mgy
Es también realmente sorprendente lo que en el año 1673, Christian Huygens (La Haya, 1629-1695), matemático, físico y astrónomo, descubrió, un hecho que le pareció extraordinario en la Cicloide: si un punto se desplaza a lo largo esta curva invertida cuyas ecuaciones están descritas en forma paramétrica, en caída libre, llegará al punto mínimo de la Cicloide en un tiempo que no depende del origen desde donde comenzó a caer. Esta propiedad se la denomina tautócrona (del griego tauto, el mismo).
En la demostración
iniciaremos el descenso a una altura y1 cualesquiera:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/mov_general/cicloide/cicliode.htm
Huygens fue el primero en descubrir esta propiedad y en darle una aplicación práctica. Estudiando los relojes de péndulo observó que cuando un cronómetro varía la amplitud de la oscilación, entonces deja de contar correctamente. Pero si la lenteja del péndulo se moviese no en una circunferencia, sino a lo largo de una cicloide, entonces aunque la amplitud de oscilación variase, el período permanecería constante.
Para lograr que la lenteja se mueva describiendo una cicloide Huygens se las ingenió mediante una de las propiedades geométricas de la cicloide Si se cuelga el péndulo con una cuerda de longitud 4R y se instala a ambos lados del punto de apoyo una cicloide como extremos, entonces la lenteja describe una cicloide igual. Sea cual sea la amplitud del movimiento oscilatorio el período es el mismo.
En el siguiente video se muestra como las esferas caen en el mismo tiempo sea cual sea su origen de partida:
MEDIDAS Y ERRORES
Por tanto la longitud de nuestro arco debería ser de 2m. De hecho la regleta usada como carril de la esfera es un modelo estándar comprado en cualquier ferretería. La longitud del arco construido debido a los defectos de fabricación es de 198 cm luego el error en la elaboración de la curva es de un 1%.
2. Error en la
medida de tiempos debido al lanzamiento. Para medir el tiempo de caída de la
esfera debemos tirar esta desde el interruptor óptico con una velocidad inicial
nula. Supongamos que soltamos la esfera dos mm antes del interruptor. El tiempo
que tarda en recorrer este espacio no se recoge en la medida. Si lanzamos el
objeto desde una altura muy grande este tiempo será muy breve, pero para
pequeñas alturas este lapso de tiempo será muy significativo. El tiempo empleado
entre 2 puntos caracterizados por su ángulo
será:
Por ejemplo, lanzando la esfera desde una altura de 70 cm, si la esfera está separada una distancia de 1,4 mm del fotointerruptor, el registro dejará de marcar 0,003 segundos (el tiempo que tarda la esfera e alcanzar el interruptor), o bien un error de un 3,6%. Este porcentaje no es constante, sino que se atenúa a mayor altura.
Realmente para verificar que la esfera cae en el mismo tiempo sea cual sea el punto de partida, se lanzan dos bolas idénticas simultáneamente. Visualmente se observa que las dos se encuentran en el origen de coordenadas, naturalmente con mayor velocidad la que viene por detrás.
Deslizamiento. Para que la esfera ruede sin deslizar se deben cumplir las siguientes condiciones:
-F=ma
F= mg sen-ma=
Iα/R; R2mg sen-
R2ma= Ia
independiente
de la masa y el radio, sólo interviene la forma.
Para calcular el
valor de 
procedemos
del siguiente modo: Dejamos rodar una esfera por un plano inclinado de un metro
de longitud, y vamos aumentando progresivamente el ángulo de inclinación del
plano. Representamos gráficamente la aceleración frente al seno del ángulo, que
como se ha visto mantiene una relación lineal. En el punto en que se rompe esa
linealidad, no se cumple la condición de rodadura y se está en disposición de
calcular y
el ángulo a partir del cual comienzan los errores.
En el gráfico se representan los valores para sendas esferas de goma y acero. Como el carril es de plástico, es fácil deducir que la pelota de goma va a tener mayor rozamiento, como se advierte en el gráfico. En este se observa a partir de qué inclinación empieza la pelota a deslizarse.
Realizando cálculos simples deducimos:
·
Esfera
acero=
=
0,16
ángulo a partir del cual
comienza a deslizarse
= 29 grados
·
Pelota
squash=
=
0,28
ángulo a partir del cual
comienza a deslizarse
=44,75 grados
Es por tanto más conveniente usar una pelota de goma para aumentar el rozamiento y evitar el deslizamiento.
La aceleración
adquiere un valor de 6,86
ms-2frente
a los 
= 7 teóricos
(2%).
El tiempo teórico de caída es:
que engloba al radio generador del cicloide (50 cm), y la forma de la figura que
rueda (una esfera 
). En
nuestra construcción el valor correspondiente del tiempo es de 0,839 s (la
precisión del instrumento de medida alcanza la milésima). Los datos
experimentales no se van más allá del 3%.
Además en el vídeo se observa que sea cual sea el punto de partida de la esfera, este tiempo es invariable
